6. 3. Számok halmazterjedelmének bővítése, a számgörbék
A dolgozat szerint a számok a létező valóság jelenségeinek viszonyát kifejező, dimenziónélküli mutatók. A létező valóság jelenségei fraktál minőséget képviselnek. E minőségek a vektorszorzat-, és térfogati differenciálhányados jellegű kapcsolatok mellett, ezek lineáris kombinációi segítségével állíthatók elő. Vajon e rendkívül színes kombinációkból álló eseményhalmaz belső viszonyai kifejezhetők a számegyenesen található számok segítségével? Valószínűsíthetően nem, hiszen a „Nagy Egész” változó belső viszonyaihoz nem illeszkednek a számegyenesen található egyenletes számskálát képviselő számok belső viszonyai, de ha igenlő a válasz, akkor is valószínűsíthetően nagyon nehezen kezelhető bonyolult függvénykapcsolatok jelennének meg.
A tudomány gyakorlata felismerte a számegyenesen található számok halmazának bővítési lehetőségeit, példaként említhetők a komplex számok, vagy az úgynevezett Minkowski négyes terének pontjaihoz rendelhető számok. E kísérletekkel a dolgozat nem kíván foglalkozni, de megjegyzi, hogy a komplex számok, úgynevezett imaginárius tengelye, egy új egységelem segítségével képzett számegyenes. E számegyenesen található számok belső viszonya eltérő az ismert számegyenesen található számok belső viszonyától. Az eltérő belső viszonyú számegyenesek külső, egymás közötti viszonyában jelennek meg a komplex számok, amelyek halmazterjedelme jelentősen bővült, hiszen már két dimenzió irányt érintenek. A komplex számok halmaza a valós és az imaginárius tengelyen elhelyezkedő számok külső viszonyából eredően, ezek lineáris kombinációit is tartalmazzák, az így előállított számhalmaz illeszkedik a létező valóság bizonyos típusú jelenségeihez, de nem illeszkedik a sokdimenziós egymásba csomagolt virtuális fraktál terekhez. A dolgozat eredménytelenül kísérletezett a különféle valós és imaginárius számegyenesek kombinációinak külső viszonyában megjelenő számhalmazok sokdimenziós terekre történő illesztésével, ezért végül más ösvényen indult el.
Az Eukleidészi-, a Minkowski-, valamint a komplex terek pontjaihoz illeszkedő számhalmazok előállítási gyakorlatát elemezve, megjelent egy szám előállítási technológia. Ennek a szám előállítási technológiának léteznek szélsőértékei, és ezek megkereshetők. Foglaljuk össze, és bővítsük osztály szintre a technológia főbb elemeit:
¤¤ Létezik a matematikai alapműveletek hierarchikus sorozata. Ez a műveletsorozat bővíthető az úgynevezett fraktál algoritmusok szerinti műveletek hierarchikus sorozatával. Ezek együtt alkotják a számelőállító műveleteket.
¤¤ Különféle egységeket választva, a műveletek segítségével különféle számegyenesek hozhatók létre. E számegyenesek belső viszonyában jelennek meg a számok. E számegyenesek valamennyien állandó belső viszonnyal rendelkeznek és szélsőértéküknek tekinthető a matematika gyakorlatából ismert számegyenes.
¤¤ Az azonos, vagy a különféle számegyenesek kombinált felhasználásával, a számegyenesek külső viszonyaiban sokdimenziós terek pontjaihoz illeszkedő számkombinációk jelennek meg.
¤¤ A számok nemcsak számegyenesekhez, de számgörbékhez is hozzárendelhetők, így a számgörbék külső viszonyában különös számhalmazok jelenhetnek meg.
¤¤ A számgörbékhez illeszkedő számhalmazok belső viszonyai, lehetnek változók. A változó belső viszonyú, de azonos számgörbék viszonyában változó külső viszonyú számhalmazok jelenhetnek meg.
¤¤ A változó belső viszonyú, és még egymástól is eltérő változékonyságú számgörbék, külső viszonyában, többszörösen változó, függvény - függvény típusú számhalmazok jelenhetnek meg.
¤¤ Még összetettebb számhalmazok jelenhetnek meg a számgörbék külső viszonyában, ha az eltérő belső viszonyú számgörbék illesztését nem közös középpontú módon oldjuk meg. A számgörbék illesztési gyakorlata hierarchikus sorozatot alkotva, további hierarchikus sorozatot alkotó összetett belső viszonyú számhalmazokat jeleníthet meg.

Lenyűgözően szépséges szám előállítási technológia sorozat vázlata jelent meg, amely már képes lehet a létező valóság jelenségeihez illeszkedő számhalmazok előállítására.
Talán valami véletlen folytán a dolgozat ösvénye a logaritmikus számítóléceken található számskálák irányába fordult, és megpróbálkozott hasonló elven egymásból származtatott változó belső viszonyú számskálák előállításával. E számskálák az ismétlődő logaritmusképzés hatására különös változásokon mennek keresztül, például kettő hatványai szerint, feldarabolódnak, kifordulnak a virtuális térbe, láncolatszerűen kapcsolódnak egymáshoz, és együttesen fraktál alakzatot jelenítenek meg. A fraktál megjelenése nem csoda, hiszen az ismétlődő logaritmusképzés egy algoritmus ismétlődő végrehajtásaként szemlélhető, ez pedig fraktál alakzat létrejöttét eredményezi. Ez a különös, belső, valamint külső viszonyait tekintve is változó számgörbe sereg, együttesen alkotja az úgynevezett szám fraktál gondolati konstrukciót. Úgy tűnik, ez a konstrukció illeszkedik, a létező valóság jelenségeihez.
A dolgozat a logaritmusképzés módszerén kívül kísérletezett más függvények segítségével is változó belső és külső viszonyú számgörbe seregeket létrehozni. Például sor került a különféle periodikus függvények alkalmazására is, de felszínes szemlélődés alapján úgy tűnik, ezek a számgörbe-seregek nem illeszkednek az egymásba csomagolt sokdimenziós virtuális fraktál terek viszonyaihoz.

6. 4. A szám fraktál
Az előzőkben megjelent egy szám előállítási technológia, amivel az ismert számegyenesből, hasonló szám-görbesereg állítható elő, mint a lineáris differenciálegyenletek általános megoldásaiként ismert görbeseregek.
A dolgozat hetedik fejezete utal rá, hogy ezek a logaritmusképzéssel előállított számgörbék egymástól lineáris értelemben független számtesteket képviselnek. E számtestek alakilag hasonlók ugyan, de az előállítás módszeréből eredően, viszonyuk és belső tartalmuk eltérő. E számtestek egymás „fölött” léteznek, nem egyszerű számok, hanem hatványkitevő jelentéstartalmúak, és hierarchikus sorozatot alkotnak, továbbá hasonlóságot mutatnak a természet fraktál egész dimenzióértéket képviselő rendszerszintjeihez, ugyanis a hatványkitevők sorozata a virtuális térdimenziók aspektusából dimenziósorozatként szemlélhető. A virtuális térdimenziók aspektusából szemlélve az egyes számegyeneseken elhelyezkedő számtestek a létrehozás ciklusszámával azonos dimenzióértékeket képviselnek. /Példaként gondolhatunk a logaritmikus számolóléceken található számskálák jelentéstartalmára, és a velük folytatott műveletek értelmezésére./
Ezek szerint létrehozható a számgörbék olyan speciális tartalmat hordozó hierarchikus struktúrája, amelynél egymástól lineárisan független szintek és a szinteken lineárisan nem független kombinációk jelennek meg. Ez a struktúra egy fraktál struktúra, éppen olyan, mint a természet fraktál.
Most tehát megjelent előttünk egy sejtés, amely szerint a számok, nem egyszerűen a számegyenesre zsúfolva, hanem testeket alkotva, a testek pedig különös fraktál struktúrába rendezett módon, a struktúrához illeszkedő tartalommal képesek a létező valóság jelenségeinek viszonyát kifejezni.
A dolgozat hipotézise szerint: „A számok halmazai, belső viszonyaik szerint számtesteket alkotnak. A számtestek külső viszonyaik szerint fraktál struktúrát alkotnak. A „szám fraktál” és a természet fraktál struktúrái illeszkednek egymáshoz.”

6. 4. 1. A szám fraktál szintjeinek belső viszonyai
A logaritmusképzés lényegében egy transzformációként szemlélhető, és ez a transzformáció a logaritmus értelmezésének megfelelően bizonyos értékeket különös módon kezel:

{LogA (1) = 0}, {LogA (A) = 1}, {LogA (0) = ± ∞}. Az ismétlődő logaritmusképzés egy fraktál algoritmusként működik. A műveleteknél vegyük figyelembe az előállított számskálák jelentéstartalmát. A számskálák hatványkitevők hierarchikus sorozatát jelenítik meg. A pozitív és negatív irányban elhelyezkedő hatványkitevők skálabeosztása egymás inverzeiként szemlélhetők, ugyanis a pozitív irányban {x az n hatványon}, a negatív irányban {(x a minusz n hatványon) = 1/( x az n hatványon)} értékek illeszkednek a skálabeosztáshoz.
Vegyük sorra tételesen, mi történt az állandó skálaosztású számegyenessel, a transzformáció során:
¤¤¤ Két zéruspont jelent meg az eredeti számegyenes egységpontjainak helyén a

{LogA (1) = 0}, és {LogA (-1) = LogA (1/1) = - 0!} összefüggéseknek megfelelően.
¤¤¤ Az új zéruspontokhoz viszonyítva, új egységpontok jelentek meg, az alkalmazott logaritmus alapjához illeszkedő módon a {LogA (A) = 1}, és a {LogA (1/A) = -1} összefüggésnek megfelelően. A léptéket a logaritmus alapja határozta meg.
¤¤¤ Az eredeti számegyenes zéruspontjának környezete a távoli végtelenbe került a {LogA (0) = ± ∞} kifejezés értelmezésének megfelelően.
¤¤¤ Mi történik az eredeti számegyenes {-∞}, és {+∞} környezetével. A tükörszimmetrikus leképezés elvének esetükben is érvényesülni kell, hiszen azonos transzformációról van szó, ezért ők az eredeti számegyenes zéruspontjainak ellentétes irányú környezetébe kerülnek. De ha ez így van, akkor az eredeti számegyenes egységpontjainak külső környezete is hasonló módon átkerül az ellentétes előjelű egységpontok belső környezetére! Ez viszont azt jelenti, hogy egy komplett kis „mini” számegyenes alakult ki az eredeti számegyenes {-1,+1} tartományán belül, ezeknek a léptéke is a kifordított, vagy pontosabb szóhasználattal élve a reciprok összefüggésnek megfelelő arányokat követi.

Elképesztő, mit művelt a logaritmusképzés módszere ezzel a „normális” számegyenessel, megkettőzte, kifordította, a kicsiket megnyújtotta, a nagyokat összezsugorította.
A logaritmusképzés módszere esetünkben egy fraktál algoritmus, amely ha ismétlődik, mindig ugyanazt az eljárást alkalmazza, de változik a leképezés tárgyfüggvénye, hiszen az egyik leképezés eredményfüggvénye képezi a következő leképezés kezdő függvényét. Ezek szerint az algoritmus, ahol különleges értékeket talál azokkal minden esetben a {LogA (1) = 0},

{LogA (A) = 1}, {LogA (0) = ± ∞} utasításnak megfelelően jár el. De akkor ezek a különleges értékek egyre többen lesznek, hiszen már az első leképezésnél is különös megkettőzések történtek. Bizony az algoritmus az ismétlődő működések során kettő hatványai szerint megváltoztatja, sokszorozza, tükrözi, nyújtja, zsugorítja az eredetileg állandó skálaosztású számegyenest, és a számegyenesen található számtesteket, végül együtt szinte felismerhetetlenül különös fraktál alakot öltenek.
A dolgozat hetedik része foglalkozik a transzformáció tartalmával. Az algoritmus által előállított számskálák belső viszonyát elemezve érdemes néhány főbb aspektust kiemelni:
þ A számskálákon található számtestek, az ismétlődő logaritmusképzések során, kettő hatványai szerint osztódnak, éppen úgy, mint az úgynevezett divergencia fraktál elemei. E rész számtestek egy-egy kis különböző méretben megjelenő számskálával azonosíthatók, amelyek egymástól lineáris értelemben nem függetlenek, hasonlóan, mint a divergencia fraktál szintjein található elemek.
þ A számskálákon található, befoglalt számskálák különös úgynevezett szinguláris pontokban kapcsolódnak, és így együtt egyetlen különös számskálát jelenítenek meg.
þ A számskálákon található, befoglalt számskálák centrális szimmetriát jelenítenek meg, és méretük szerint hierarchikus sorozatot alkotnak. Ha e különböző méretű befoglalt számskálákat vetületekként szemléljük, akkor hasonlíthatók a virtuális térbe kifordult rezgő húrok vetületeihez, és a divergencia fraktál szintjein található forgó kombinációkhoz.

þ A dolgozat nem ad konkrét eligazítást a befoglalt számskálákhoz rendelt értékek tekintetében, azonban a szám fraktál, a divergencia fraktál és a természet fraktál hasonlósági feltételeiből következően, a hozzárendelt skálaértékeknek is egyfajta lineáris kombinációkként, az alsó és a felső szint közötti átmenetekként kell viselkedniük. Más aspektusból fogalmazva a számgörbék közötti viszonyt a logaritmusképzés határozza meg, a számskálák hozzárendelt értékei tehát hatványfüggvény szerinti kapcsolatban állnak egymással, amit a választott logaritmus alap határoz meg alapvetően. A számgörbékre települt úgynevezett befoglalt számgörbék hozzárendelt értékei, e szélsőértékek valamelyikéből határozhatók meg egy transzformációval, amely konkrétan Lorentz transzformáció tartalmú, így lehet előállítani a lineáris kombinációkat, a folyamatos átmeneteket.
Az előzők alapján megállapítható, hogy a vizsgált számskálák belső viszonyaik alapján egy a divergencia fraktál alakzathoz hasonló, fraktál alakzat szintjeiként azonosíthatók.

6. 4. 2. A szám fraktál szintjeinek külső viszonya
A dolgozat hetedik fejezete elemzéseket tartalmaz a szám fraktál szintjeinek külső viszonyával kapcsolatban, emeljünk ki ezek közül néhány észrevételt:
þ A számskálákhoz rendelt értékek, a logaritmus értelmezéséből eredően hierarchikus sorozatba rendezhető hatványkitevők. Maguk a számskálák alakilag olyanok mintha a normál számegyenesen változó léptékek szerint lennének elhelyezve, de a velük végzett műveletek magasabb rendű műveletek tartalmát hordozzák. A számskálák tényleges viszonya meglehetősen összetett, hiszen többszörös transzformációkról, nyújtásokról, összetömörítésekről, és tükrözésekről van szó.
þ Az egyes számskálákon elhelyezkedő úgynevezett befoglalt számskálák a szinguláris pontoknál kapcsolódnak egymáshoz. A dolgozat elképzelése szerint ugyanezt teszik a fraktál szinteket képviselő számskálák is, ezáltal kapcsolódnak egyetlen összefüggő fraktál alakzattá.

þ A számskálák az ismert számegyenesből származtathatók a logaritmusképzés módszerével, de honnan származik az általunk ismert számegyenes? A dolgozat elképzelése szerint ő is a logaritmusképzés módszerével keletkezett egy forrás számskálából. Ez a forrás számskála a logaritmusképzés ellentétes műveleteivel, az úgynevezett logaritmus visszakeresés ismétlődő műveleteivel közelíthető meg. Különös meglepetéssel szolgálnak a logaritmus visszakereséssel előállított számskálák, ugyanis nem rendelkeznek befoglalt számskálákkal, és a megjelenített metszeteken rendelkeznek egy közös metszésponttal az {x = -1, y = 0} értékeknél. Kérdés merülhet fel a „Nagy Egész” gondolati konstrukcióhoz illeszkedő számskála létét illetően. Figyeljük meg a logaritmus visszakereséssel előállított, és egymást megelőző számskálák meredekségét, és elhelyezkedését. Tapasztalható e számskálák meredekségének monoton növekedése, ugyanakkor periodikus ismétlődéssel az {x} tengelyre tükörszimmetrikus pozíciókban jelennek meg. Ha figyelembe vesszük hogy ezek a számskálák nem teljes valójukban, hanem csak vetületi minőségben látszanak, akkor kijelenthető, hogy a számskálák a „Nagy Egész” irányába haladva egyre jobban kifordulnak a virtuális tér irányába. A logaritmusképzéssel előállított számskálákra települt befoglalt számskálák viselkednek így, ők alkotnak a fokozatos átmeneteket a virtuális tér irányába történő kifordulás tekintetében. Ha figyelembe vesszük e vetületek {x} tengelyre tükörszimmetrikus pozícióit is, akkor szemlélhetjük e jelenséget olyan módon, mintha az egymást megelőző skálák forogva közelítenének egy a metszet által meghatározott virtuális térdimenzió irányába egy erre merőleges térdimenzió irányából. Az előző észrevételek alapján különös megállapítások tehetők:
o A matematika gyakorlatából ismert, úgynevezett normál számegyenes és a „Nagy Egész” közötti számegyenesek úgy viselkednek, mintha lineáris kombinációk lennének. Ha ez így van, akkor ezek a számskálák egyetlen rendszerszintet képviselnek.
o A „Nagy Egész” minősége a mi észlelési szféránkra merőleges virtuális térben létezik így az észlelés tartalma elméleti megközelítés alapján is zérus közeli.